Un modello previsionale quantitativo è semplicemente un processo di calcolo che prevede l’inserimento di un insieme di dati di input e che, sulla base di regole predefinite, restituisce in output delle previsioni.
In questo breve approfondimento costruiremo un semplice modello di previsione del trend per il mercato azionario americano. Lo scopo è quello di mostrare cosa sono, come funzionano, come si devono utilizzare e quale tipo di insidie nascondono i modelli quantitativi.
Costruiremo quello che tecnicamente si chiama “modello di regressione polinomiale di grado 6”. A dispetto di un nome che mette un po’ in soggezione, scopriremo che si tratta di una metodologia piuttosto semplice da implementare. Ecco, in sintesi, il percorso che seguiremo:
1 – predisposizione della serie storica dei prezzi di chiusura dell’indice S&P 500
2 – costruzione del modello di previsione del trend
3 – applicazione del modello ai dati storici
4 – valutazione dei risultati ottenuti e dell’affidabilità del modello
1 - I dati di partenza
Prima di tutto occorre reperire la serie storica dei prezzi dell’indice su cui vogliamo lavorare; in questo caso l’S&P 500. Allo scopo è possibile riferirsi a numerosi siti internet fra i quali, certamente, Google Finance e Yahoo Finance. I dati utilizzati per questa esercitazione possono essere scaricati direttamente dal seguente link.
Si tratta di tutte le chiusure settimanali dell'indice della borsa americana S&P500 tra il 4 gennaio 2002 ed il 30 luglio 2009.
2 - Costruzione del modello
Il modello che costruiremo in questa esercitazione è, come detto, un polinomio di regressione di sesto grado. In sostanza si tratta di costruire una funzione matematica capace di mettere in relazione lo scorrere del tempo (nell'esempio parliamo di settimane) con l'evoluzione del prezzo dell'indice.
Osservando la serie storica vediamo che al termine della prima settimana (siamo al 4/1/02) l'indice vale 1173; la settimana successiva scende a 1146 per poi calare ulteriormente a 1128 alla terza settimana e così via.
Possiamo allora riscrivere la tabella dei prezzi basandoci sul numero di settimane invece che sulla data nel seguente modo:

Il passo successivo consiste nella ricerca di una funzione matematica che associ al numero della settimana il corrispondente livello di prezzo.
Se torniamo con la mente ai tempi delle scuole superiori, probabilmente riusciamo a ricordare il concetto di funzione matematica del tipo (che si legge "y uguale ad effe di x") e a quello che chiamavamo piano cartesiano (i classici asse x ed asse y).
Molto frequente era il caso della funzione che si rappresenta con una retta inclinata positivamente. La logica è molto semplice, dato un certo valore della x (che nel nostro caso potrebbe essere il numero della settimana), si ricava il corrispondente valore della y (il prezzo dell’indice) applicando la formula .

Se la funzione fosse il nostro modello di previsione, allora potremmo generare delle previsioni partendo semplicemente dal numero della settimana nella quale ci troviamo. Se siamo alla settimana n° 150 e vogliamo conoscere il prezzo dell’indice alla prossima settimana (la 151esima) ci basterà applicare la formula ossia prezzo = 2x150 = 300
Immaginiamo di applicare la funzione ai dati storici. Alla settimana 1 il prezzo dovrebbe essere pari a 2 mentre il valore osservato è 1173. Alla settimana 3 il prezzo sarebbe 6 (3x2=6), ben lontano dal valore osservato pari a 1128.
Evidentemente la funzione è inadeguata allo scopo. Ciò che dovremo cercare è un qualcosa di più complesso che possa davvero generare numeri realistici. A questo scopo la matematica ci viene in aiuto con uno strumento noto come regressione polinomiale. Si tratta di una metodologia che permette di modificare una funzione in modo tale che sia il più possibile fedele ai dati osservati. Nel nostro caso si tratta di fare in modo che la curva della funzione passi il più possibile vicino ai punti sul grafico che rappresentano le osservazioni del prezzo in ciascuna settimana.
Vediamo un esempio concreto con i primi 20 dati della nostra serie storica:


Polinomio di regressione
La linea rossa sopra rappresentata è, per l’appunto, un polinomio di regressione di grado 6 calcolato con il metodo dei minimi quadrati. Tradotto in parole povere, si tratta di una funzione matematica (non molto diversa dalla ) opportunamente manipolata in modo da farla passare il più possibile vicino ai livelli di prezzo effettivamente osservati. Un polinomio di grado 6 è ciò che alle scuole superiori chiamavamo equazione di sesto grado ed assume la seguente forma:

La logica è sempre la stessa: per ogni numero di settimana (x) è possibile calcolare il corrispondente livello di prezzo (y) utilizzando la relazione sopra descritta.
Le lettere a,b,c,d,e,f,g sono dei numeri fissi (che prendono il nome di “termini noti”) che dovranno essere opportunamente scelti in modo da modellare la curva intorno al grafico della serie storica da analizzare.
Il metodo dei minimi quadrati è, per l’appunto, quella tecnica che consente di individuare il valore da attribuire ai termini noti per essere certi di minimizzare le differenze tra i valori osservati e quelli stimati dal polinomio.
Nell’esempio precedente sono stati calcolati i termini noti ottimali per far passare il polinomio generico di cui alla 1.1 il più possibile vicino ai 20 valori di prezzo osservati. Il risultato è la linea rossa rappresentata in Fig.1 ed assume la seguente formula:

Sostituendo in questa formula alla x i numeri che vanno da 1 a 20 (le venti settimane) è possibile calcolare il prezzo teorico previsto dal modello per l’indice S&P500:


3 - Applicazione ai dati storici
Il modello di regressione polinomiale, per quanto teoricamente complesso da implementare, risulta di facile utilizzo in quanto pienamente supportato da Excel. Nel foglio di calcolo prelevabile da questo link, viene fatto uso dello strumento “trendline” di Excel per calcolare i parametri di un polinomio di regressione di grado 6 sull’intera serie storica dell’indice S&P500.
Il procedimento, peraltro piuttosto semplice, può essere osservato in questa video guida dedicata
I parametri ottenuti vengono poi utilizzati per ricostruire interamente la serie di prezzi così come mostrato nell’esempio sulle prime venti settimane. Dal momento che il meccanismo di costruzione del polinomio è incentrato sulla minimizzazione degli errori nella replica dei dati storici, è normale che la distanza fra ogni singolo prezzo osservato e la corrispondente previsione non sia mai enorme.
Ora che disponiamo di una funzione che associa al numero della settimana il prezzo dell’indice possiamo ricavare ciò che ci eravamo prefissati all’inizio: un modello di previsione del trend.
Supponiamo di trovarci alla settimana numero 1: il prezzo osservato è 1173, mentre il prezzo previsto per la settimana successiva (la numero 2) può essere ricavato utilizzando la funzione appena descritta:
prezzo atteso = 1359,65200235554 - 30,9537805188738x2 - 0,0062706566044x2^2 + 0,00002842613920x2^3 - 0,00002842613920x2^4 -0,00000006157240x2^5+ 0,00000000005060x2^6 = 1300
La stima relativa alla seconda settimana formulata la settimana precedente è pari a 1300 che, rispetto al 1173 di partenza evidenzia un’attesa di trend rialzista. Il dato effettivamente osservato alla settimana 2, tuttavia, è 1146 che, essendo inferiore al 1173 di partenza, smentisce il modello configurando un trend decrescente dei prezzi osservati sul mercato.
E’ possibile ripercorrere tutta la serie storica verificando, settimana dopo settimana, se le previsioni di trend ottenute tramite l’applicazione di questo modello, sarebbero state corrette oppure no. Scopriremo che, con questo modello, avremmo indovinato il 56% dei trend settimanali dell’indice S&P500.
Per capire meglio quanto detto è possibile scaricare un apposito foglio excel.








Infine verifichiamo, per ciascuna settimana, se il trend previsto coincide con quello osservato. Contando il numero di trend previsti correttamene (contrassegnati da un “OK”) e rapportandolo alla totalità delle previsioni formulate, otteniamo il tasso di successo del modello. In questo caso 56%









4 – Valutazione dei risultati ottenuti e dell’affidabilità del modello – un’insidia nascosta
Per valutare correttamente i risultati ottenuti da un modello previsionale è sempre importante definire con chiarezza le proprie aspettative. In questo caso abbiamo sviluppato un modello di previsione del trend su base settimanale. Il compito del nostro modello è quello di informarci, al termine di una settimana di borsa, se, nel corso della settimana successiva, il trend sarà positivo o negativo. Dal momento che le probabilità di indovinare il trend lanciando semplicemente una moneta sono pari al 50% potremo essere soddisfatti del nostro modello solo se capace di fornire indicazioni corrette in oltre la metà dei casi. Diversamente avremo lavorato per niente e non disporremo di un modello migliore del lancio della moneta.
In questo caso, una percentuale di successo del 56% ci offre qualcosa in più del lancio di una monetina ma, naturalmente, non ci lascia particolarmente soddisfatti.
Il modello implementato in questa esercitazione, infatti, è molto semplice e ben lungi dall’essere un caso reale di modello previsionale (i modelli sviluppati da nonsolofondi arrivano spesso a prevedere correttamente oltre il 95% dei trend - ecco alcuni esempi di successo).
Ma vediamo qual è la preannunciata insidia nascosta. Immaginiamo che il modello qui sviluppato fosse stato capace di prevedere correttamente il 90% dei trend (e non il 56% come invece abbiamo osservato).
In questo caso sarebbe stato corretto affermare che le previsioni di trend generate dal modello presentano un'affidabilità del 90%? La risposta è ASSOLUTAMENTE NO!
Non possiamo affermare ciò in quanto la precisione del modello sarebbe soltanto il risultato del processo di ottimizzazione dei parametri volto proprio a minimizzare i residui (ossia gli scostamente fra i valori interpolati e quelli osservati sul mercato). Il 90% di precisione non è, quindi, il risultato di un back test. Esso deriva dal fatto che abbiamo utilizzato i dati storici disponibili per individuare il valore ottimale per i paramentri del polinomio. E' naturale che, andando ad applicare il polinomio sui medesimi dati storici, i risultati siano positivi.
Alla luce di quanto detto pare strano di aver ottenuto un tasso di successo pari solo al 56%! In effetti la bassa qualità del modello dipende unicamente dalla scelta del polinomio di grado 6 fatta a monte. Molto probabilmente si sarebbero potuti ottenere risultati migliori con un polinomio di grado maggiore o con una funzione esponenziale o altro ancora.